Как выполняется моделирование по методу монте-карло. Метод монте карло Метод монте карло относится к методам моделирования

Методы Монте-Карло используются в основном для вычисления кратных интегралов. В принципе такие интегралы можно вычислить и повторным применением выше изложенных методов. Однако с повышением кратности интеграла резко возрастает объем вычислительной работы. Методы статистических испытаний (методы Монте-Карло) свободны от этого недостатка, хотя и обеспечивают сравнительно невысокую точность. Существует большое количество вариантов этих методов. Рассмотрим два из них.

Первый из них можно интерпретировать как статистический вариант метода прямоугольников, когда в качестве узла берется случайное число, равномерно распределенное в интервале интегрирования
. Вследствие случайности узла погрешность также будет носить случайный характер. Проведя вычислений с такими случайными узлами, усредняем результат, который и принимаем за приближенное значение интеграла,

. (5.48)

Погрешность вычисления будет уменьшаться с ростом числа используемых узлов расчета функции по закону
. Графическая иллюстрация метода представлена на рисунке 5.5

Рисунок 5.5. Статистический вариант метода прямоугольников

Формула (5.48) обобщается на случай кратных интегралов

Здесь
– -мерный объем области интегрирования . Число узлов, в которых необходимо вычислять подынтегральную функцию, будет пропорционально
.

Во втором варианте метода Монте-Карло интеграл приводится к виду

,(5.50)

где
находится в интервале . Тогда две случайные величины и
можно рассматривать как координаты точек в единичном квадрате (рисунок 5.8). При равномерном распределении точек в квадрате за приближенное значение интеграла принимается отношение количества точек , попавших под кривую
, к общему числу испытаний

.(5.51)

Этот алгоритм также обобщается на кратные интегралы.

Метод наименьших квадратов

Будем рассматривать систему линейных алгебраических уравнений вида

. (6.1)

Из курса линейной алгебры известно, что в том случае, когда
и число уравнений равно числу неизвестных система имеет единственное решение. На практике часто встречаются задачи, в которых либо число уравнений не совпадает с числом неизвестных, либо матрица или вектор заданы не полностью или не точно. Решение таких задач строится методом наименьших квадратов (МНК).

6.1. Решение пере- и недоопределенных слау

Задача наименьших квадратов в разных дисциплинах называется по-разному. Например, математически это есть задача отыскания для заданной точки функционального пространства ближайшей точки в заданном подпространстве. Статистика вводит в свою постановку задачи вероятностные распределения и оперирует терминами типа регрессионный анализ. Инженерный подход к решению проблемы анализа сложных систем приводит к задачам оценивания параметров или фильтрации.

Главное состоит в том, что все эти задачи содержат в себе одну и ту же центральную проблему, а именно последовательность линейных задач наименьших квадратов. Эту проблему можно сформулировать следующим образом. Пусть дана действительная
-матрица ранга
и действительный -вектор . Задача наименьших квадратов состоит в нахождении действительного -вектора , минимизирующий евклидову длину (норму) вектора невязки
.

Здесь не выдвигается никаких предположений относительно сравнительной величины параметров и , поэтому удобно все многообразие разделить на шесть случаев (рис.6.1).

В основе решения задач такого типа лежит представление
-матрицы в виде произведения
, где
и
– ортогональные матрицы. Напомним, что матрица
называется ортогональной, если
( – единичная матрица), из единственности обратной матрицы следует, что и
. Любое разложение
-матрицы такого типа называется его ортогональным разложением. Важным свойством ортогональных матриц является сохранение евклидовой длины при умножении. Это значит, что для любого -вектора и любой ортогональной
-матрицы

.(6.2)

В контексте решения задачи наименьших квадратов минимизации евклидовой нормы имеем

для произвольной ортогональной
-матрицы
и -вектора .

Использование такого разложение позволяет сформулировать задачу метода наименьших квадратов в следующем виде. Пусть – ортогональная
-матрица ранга , представленная в виде

,(6.4)

где
и
– ортогональные матрицы размерности соответственно
и
, а –
-матрица вида

,(6.5)

где
–
-матрица ранга.

Рисунок 6.1. Шесть случаев задачи МНК в соответствии со сравнительной характеристикой величин , и ранга .

Определим вектор

(6.6)

и новую переменную

(6.7)

Определим как единственное решение системы
.

, где

–произвольно. (6.8)

.(6.9)

Для нормы вектора невязки справедливо

Единственным решением минимальной длины является вектор

.(6.11)

Заменим согласно формуле (4) и получим

из уравнений (6.6)-(6.11) следует, что

для всех . Очевидно, что правая часть (6.13) имеет минимальное значение
, если

.(6.14)

Это уравнение допускает единственное решение , так как ранг
равен . Общее решение выражается формулой

,(6.15)

где произвольно. Для вектора из (6.11) имеем

, (6.16)

что устанавливает равенство (6.9). Среди векторов вида (6.15) наименьшую длину (норму) будет иметь тот, для которого
, поэтому из (6.8) получим

,(6.17)

что доказывает (6.11).

В случае
или
величины с размерностями
и
отсутствуют. В частности, при
решение задачи наименьших квадратов единственно. Отметим, что решение минимальной длины (нормы), множество всех решений и минимальное значение для нормы вектора невязки определяются единственным образом и не зависят от вида конкретного ортогонального разложения.

Для дальнейшего ограничимся несколькими утверждениями, приведенными без доказательств.

,(6.18)

где – верхняя треугольная
-матрица ранга . При этом для
-подматрицы
существует ортогональная матрица
такая, что

,

где – нижняя треугольная матрица ранга .

Первое утверждение дает возможность построить разложение матрицы в случаях
и
, где
. Действительно,
( – единичная
-матрица). Для случая
(
) запишем
или
( – единичная
-матрица). Второе утверждение дает возможность построить разложения
для случаев
-
При этом матрица представима в виде

,(6.20)

где
– невырожденная треугольная
-матрица.

Различные методы и приборы для определения параметров и характеристик случайных процессов можно объединить в две группы. Первую группу составляют приборы для определения корреляционных функций (корреляторы), спектральных плотностей (спектрометры), математических ожиданий, дисперсий, законов распределения и прочих случайных процессов и величин.

Все приборы первой группы можно разделить на две подгруппы. Одни определяют характеристики записанных случайных сигналов за достаточно большое время, намного превышающее время реализации самого случайного процесса. Другие (они в последнее время вызывают наибольший интерес) позволяют получать характеристики случайного процесса оперативно, в такт с поступлением информации при натурных испытаниях новых систем управления, так как, пользуясь их показаниями, можно непосредственно изменять процесс управления и в ходе эксперимента наблюдать за результатами этих изменений.

Вторая группа содержит методы и приборы, предназначенные для исследования случайных процессов и главным образом систем управления, в которых присутствуют случайные сигналы, на универсальных цифровых и аналоговых вычислительных машинах. Иногда для таких исследований приходится создавать специализированные вычислительные машины цифрового, аналогового или чаще всего аналого-цифрового (гибридного) типа, так как существующие типовые машины не приспособлены для решения некоторых задач.

Широко применяется на практике метод Монте-Карло (метод статических испытаний). Его основная идея чрезвычайно проста и заключается по существу в математическом моделировании на вычислительной машине тех случайных процессов и преобразований с ними, которые имеют место в реальной системе управления. Этот метод в основном реализуется на цифровых и, реже, на аналоговых вычислительных машинах.

Можно утверждать, что метод Монте-Карло остаётся чистым методом моделирования случайных процессов, чистым математическим экспериментом, в известном смысле лишённым ограничений, свойственным другим методам. Рассмотрим данный метод применительно к решению различных задач управления.

Общая характеристика метода Монте-Карло

Как уже указывалось, идея метода Монте-Карло (или метода статистического моделирования) очень проста и заключается в том, что в вычислительной машине создаётся процесс преобразования цифровых данных, аналогичный реальному процессу. Вероятностные характеристики обоих процессов (реального и смоделированного) совпадают с какой-то точностью.

Допустим, необходимо вычислить математическое ожидание случайной величины X, подчиняющейся некоторому закону распределения F(x). Для этого в машине реализуют датчик случайных чисел, имеющий данное распределение F(x), и по формуле, которую легко запрограммировать, определяют оценку математического ожидания:

Каждое значение случайной величины x i представляется в машине двоичным числом, которое поступает с выхода датчика случайных чисел на сумматор. Для статистического моделирования рассматриваемой задачи требуется N-кратное повторение решения.

Рассмотрим ещё один пример. Производится десять независимых выстрелов по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле задана и равна p. Требуется определить вероятность того, что число попаданий будет чётным, т.е. 0, 2, 4, 6, 8, 10. Вероятность того, что число попаданий будет 2k, равна:

откуда искомая вероятность

Если эта формула известна, то можно осуществить физический эксперимент, произведя несколько партий выстрелов (по десять в каждой) по реальной мишени. Но проще выполнить математический эксперимент на вычислительной машине следующим образом. Датчик случайных чисел выдаст в цифровом виде значение случайной величины?, подчиняющейся равномерному закону распределения в интервале . Вероятность неравенства?

Для пояснения целесообразно обратиться к рис. 1, на котором весь набор случайных чисел представляется в виде точек отрезка . Вероятность попадания случайной величины?, имеющей равномерное распределение в интервале , в интервал (где) равна длине этого отрезка, т.е. p. Поэтому на каждом такте моделирования полученное число? сравнивают с заданной вероятностью p. Если?

Различают две области применения метода Монте-Карло. Во-первых, для исследования на вычислительных машинах таких случайных явлений и процессов, как прохождение элементарных ядерных частиц (нейтронов, протонов и пр.) через вещество, системы массового обслуживания (телефонная сеть, система парикмахерских, система ПВО и пр.), надёжность сложных систем, в которых выход из строя элементов и устранения неисправностей являются случайными процессами, статистическое распознавание образов. Это - применение статистического моделирования к изучению так называемых вероятностных систем управления.

Этот метод широко применяется и для исследования дискретных систем управления, когда используются кибернетические модели в виде вероятностного графа (например, сетевое планирование с?-распределением времени выполнением работ) или вероятностного автомата.

Если динамика системы управления описывается дифференциальными или разностными уравнениями (случай детерминированных систем управления) и на систему, например угловую следящую систему радиолокационной станции воздействуют случайные сигналы, то статическое моделирование также позволяет получить необходимые точностные характеристики. В данном случае с успехом применяются как аналоговые, так и цифровые вычислительные машины. Однако, учитывая более широкое применение при статистическом моделировании цифровых машин, рассмотрим в данном разделе вопросы, связанные только с этим типом машин.

Вторая область применения метода Монте-Карло охватывает чисто детерминированные, закономерные задачи, например нахождение значений определённых одномерных и многомерных интегралов. Особенно проявляется преимущество этого метода по сравнению с другими численными методами в случае кратных интегралов.

При решении алгебраических уравнений методом Монте-Карло число операций пропорционально числу уравнений, а при их решении детерминированными численными методами это число пропорционально кубу числа уравнений. Такое же приблизительно преимущество сохраняется вообще при выполнении различных вычислений с матрицами и особенно в операции обращения матрицы. Надо заметить, что универсальные вычислительные машины не приспособлены для матричных вычислений и метод Монте-Карло, применённый на этих машинах, лишь несколько улучшает процесс решения, но особенно преимущества вероятностного счёта проявляются при использовании специализированных вероятностных машин. Основной идеей, которая используется при решении детерминированных задач методом Монте-Карло, является замена детерминированной задачи эквивалентной статистической задачей, к которой можно применять этот метод. Естественно, что при такой замене вместо точного решения задачи получается приближённое решение, погрешность которого уменьшается с увеличением числа испытаний.

Эта идея используется в задачах дискретной оптимизации, которые возникают при управлении. Часто эти задачи сводятся к перебору большого числа вариантов, исчисляемого комбинаторными числами вида N=. Так, задача распределения n видов ресурсов между отраслями для n>3 не может быть точно решена на существующих цифровых вычислительных машинах (ЦВМ) и ЦВМ ближайшего будущего из-за большого объёма перебора вариантов. Однако таких задач возникает очень много в кибернетике, например синтез конечных автоматов. Если искусственно ввести вероятностную модель-аналог, то задача существенно упростится, правда, решение будет приближённым, но его можно получить с помощью современных вычислительных машин за приемлемое время счёта.

При обработке больших массивов информации и управлении сверхбольшими системами, которые насчитывают свыше 100 тыс. компонентов (например, видов работ, промышленных изделий и пр.), встаёт задача укрупнения или эталонизации, т.е. сведения сверхбольшого массива к 100-1000 раз меньшему массиву эталонов. Это можно выполнить с помощью вероятностной модели. Считается, что каждый эталон может реализоваться или материализоваться в виде конкретного представителя случайным образом с законом вероятности, определяемым относительной частотой появления этого представителя. Вместо исходной детерминированной системы вводится эквивалентная вероятностная модель, которая легче поддаётся расчёту. Можно построить несколько уровней, строя эталоны эталонов. Во всех этих вероятностных моделях с успехом применяется метод Монте-Карло. Очевидно, что успех и точность статистического моделирования зависит в основном от качества последовательности случайных чисел и выбора оптимального алгоритма моделирования.

Задача получения случайных чисел обычно разбивается на две. Вначале получают последовательность случайных чисел, имеющих равномерное распределение в интервале . Затем из неё получают последовательность случайных чисел, имеющих произвольный закон распределения. Один из способов такого преобразования состоит в использовании нелинейных преобразований. Пусть имеется случайная величина X, функция распределения вероятности для которой

Если y является функцией x, т.е. y=F(x), то и поэтому. Таким образом, для получения последовательности случайных чисел, имеющих заданную функцию распределения F(x), необходимо каждое число y с выхода датчика случайных чисел, который формирует числа с равномерным законом распределения в интервале , подать на нелинейное устройство (аналоговое или цифровое), в котором реализуется функция, обратная F(x), т.е.

Полученная таким способом случайная величина X будет иметь функцию распределения F(x). Рассмотренная выше процедура может быть использована для графического способа получения случайных чисел, имеющих заданный закон распределения. Для этого на миллиметровой бумаге строится функция F(x) и вводится в рассмотрение другая случайная величина Y, которая связана со случайной величиной X соотношением (2) (рис. 2).

Так как любая функция распределения монотонно неубывающая, то

Отсюда следует, что величина Y имеет равномерный закон распределения в интервале , т. к. её функция распределения равна самой величине

Плотность распределения вероятности для Y

Для получения значения X берётся число из таблиц случайных чисел, имеющих равномерное распределение, которое откладывается на оси ординат (рис. 2), и на оси абсцисс считывается соответствующее число X. Повторив неоднократно эту процедуру, получим набор случайных чисел, имеющих закон распределения F(x). Таким образом, основная проблема заключается в получении равномерно распределённых в интервале случайных чисел. Один из методов, который используется при физическом способе получения случайных чисел для ЭВМ, состоит в формировании дискретной случайной величины, которая может принимать только два значения: 0 или 1 с вероятностями

Можно доказать, что случайная величина? * , заключённая в интервале , имеет равномерный закон распределения

В цифровой вычислительной машине имеется конечное число разрядов k. Поэтому максимальное количество несовпадающих между собой чисел равно 2 k . В связи с этим в машине можно реализовать дискретную совокупность случайных чисел, т.е. конечное множество чисел, имеющих равномерный закон распределения. Такое распределение называется квазиравномерным. Возможные значения реализации дискретного псевдослучайного числа в вычислительной машине с k разрядами будут иметь вид:

Вероятность каждого значения (3) равна 2 -k . Эти значения можно получить следующим образом

Случайная величина имеет математическое ожидание

Учитывая, что

и выражение для конечной суммы геометрической прогрессии

получаем:

Аналогично можно определить дисперсию величины:

или, используя формулу (4), получаем:

Согласно формуле (5) оценка величины?* получается смещённой при конечном k. Это смещение особенно сказывается при малом k. Поэтому вместо вводят оценку

Очевидно, что случайная величина? в соответствии с соотношением (3) может принимать значения

I=0,1,2,…, 2 k -1

с вероятностью p=1/2 k .

Математическое ожидание и дисперсию величины? можно получить из соотношений (5) и (6), если учесть (7). Действительно,

Отсюда получаем выражение для среднеквадратичного значения в виде

Напомним, что для равномерно распределённой в интервале величины x имеем

Из формулы (8) следует, что при среднеквадратичное отклонение? квазиравномерной совокупности стремится к. Ниже приведены значения отношения среднеквадратичных значений двух величин? и? в зависимости от числа разрядов, причём величина? имеет равномерное распределение в интервале (табл. 1).

Таблица 1

Из табл. 1 видно, что при k>10 различие в дисперсиях несущественно.

На основании вышеизложенного задача получения совокупности квазиравномерных чисел сводится к получению последовательности независимых случайных величин z i (i=1,2,…, k), каждая из которых принимает значение 0 или 1 с вероятностью 1/2. Различают два способа получения совокупности этих величин: физический способ генерирования и алгоритмическое получение так называемых псевдослучайных чисел. В первом случае требуется специальная электронная приставка к цифровой вычислительной машине, во втором случае загружаются блоки машины.

При физическом генерировании чаще всего используются радиоактивные источники или шумящие электронные устройства. В первом случае радиоактивные частицы, излучаемые источником, поступают на счётчик частиц. Если показание счётчика чётное, то z i =1, если нечётное, то z i =0. Определим вероятность того, что z i =1. Число частиц k, которое испускается за время?t, подчиняются закону Пуассона:

Вероятность чётного числа частиц

Таким образом, при больших??t вероятность P{Z i =1} близка к 1/2.

Второй способ получения случайных чисел z i более удобен и связан с собственными шумами электронных ламп. При усилении этих шумов получается напряжение u(t), которое является случайным процессом. Если брать его значения, достаточно отстоящие друг от друга, так чтобы они были некоррелированы, то величины u(t i) образуют последовательность независимых случайных величин. Обычно выбирают уровень отсечки a и полагают

причём уровень a следует выбрать так, чтобы

Также применяется более сложная логика образования чисел z i . В первом варианте используют два соседних значения u(t i) и u(t i+1), и величина Z i строится по такому правилу:

Если пара u(t i) - a и u(t i+1) - a одного знака, то берётся следующая пара. Требуется определить вероятность при заданной логике. Будем считать, что P {u(t i)>a}=W и постоянная для всех t i . Тогда вероятность события равна по формуле событий A 1 H v . Здесь H v - это вероятность того, что v раз появилась пара одинакового знака

u(t i) - a; u(t i+1) - a. (9)

Поэтому вероятность события A 1 H v

P{A 1 H v }=W (1-W) v .

Это - вероятность того, что после v пар вида (9) появилось событие A 1 . Оно может появиться сразу с вероятностью W (1-W), оно может появиться и после одной пары вида (9) с вероятностью

W (1-W)

и т.д. В результате

Отсюда следует, что если W=const, то логика обеспечивает хорошую последовательность случайных чисел. Второй способ формирования чисел zi состоит в следующем:

W=P {u(t i)>a}=1/2+?.

P{Z i =1}=2W (1-W)=1/2-2? 2 .

Чем меньше?, тем ближе вероятность P{Z i =1} к величине 1/2.

Для получения случайных чисел алгоритмическим путём с помощью специальных программ на вычислительной машине разработано большое количество методов. Так как на ЦВМ невозможно получить идеальную последовательность случайных чисел хотя бы потому, что на ней можно набрать конечное множество чисел, такие последовательности называются псевдослучайными. На самом деле повторяемость или периодичность в последовательности псевдослучайных чисел наступает значительно раньше и обусловливается спецификой алгоритма получения случайных чисел. Точные аналитические методы определения периодичности, как правило, отсутствуют, и величина периода последовательности псевдослучайных чисел определяется экспериментально на ЦВМ. Большинство алгоритмов получается эвристически и уточняется в процессе экспериментальной проверки. Рассмотрение начнём с так называемого метода усечений. Пусть задана произвольная случайная величина u, изменяющаяся в интервале , т.е. . Образуем из неё другую случайную величину

u n =u , (10)

где u используется для определения операции получения остатка от деления числа u на 2 -n . Можно доказать, что величины u n в пределе при имеют равномерное распределение в интервале .

По существу с помощью формулы (10) осуществляется усечение исходного числа со стороны старших разрядов. При оставлении далёких младших разрядов естественно исключается закономерность в числах и они более приближаются к случайным. Рассмотрим это на примере.

Пример 1. Пусть u = 0,10011101… = 1?1/2 + 0?1/2 2 + 0?1/2 3 + 1?1/2 4 + 1?1/2 5 + 1?1/2 6 + 0?1/2 7 + 1?1/2 8 + …

Выберем для простоты n=4. Тогда {u mod 2 -4 } = 0,1101…

Из рассмотренного свойства ясно, что существует большое количество алгоритмов получения псевдослучайных чисел. При этом после операции усечения со стороны младших разрядов применяется стандартная процедура нормализации числа в цифровой вычислительной машине. Так, если усечённое слева число не умещается по длине в машине, то производится усечение числа справа.

При проверке качества псевдослучайных чисел прежде всего интересуются длиной отрезка апериодичности и длиной периода (рис. 3). Под длиной отрезка апериодичности L понимается совокупность последовательно полученных случайных чисел? 1 , …, ? L таких, что? i ? j при, но? L+1 равно одному из? k ().

Под длиной периода последовательности псевдослучайных чисел понимается T=L-i+1. Начиная с некоторого номера i числа будут периодически повторяться с этим периодом (рис. 3).

Как правило, эти два параметра (длины апериодичности и периода) определяются экспериментально. Качество совпадения закона распределения случайных чисел с равномерным законом проверяется с помощью критериев согласия.

Точность метода Монте-Карло

Метод Монте-Карло применяется там, где не требуется высокой точности. Например, если определяют вероятность поражения мишени при стрельбе, то разница между p 1 =0,8 и p 2 =0,805 несущественна. Обычно считается, что метод Монте-Карло позволяет получить точность примерно 0,01-0,05 максимального значения определяемой величины.

Получим некоторые рабочие формулы. Определим по методу Монте-Карло вероятность пребывания системы в некотором состоянии. Эта вероятность оценивается отношением

где M - число пребываний системы в этом состоянии в результате N моделирований. Учитывая выражение для дисперсии величины M/N

и неравенство Чебышёва

Величина

есть ни что иное, как ошибка моделирования по методу Монте-Карло. С помощью формулы (11) можно написать следующую формулу для величины (12):

где p 0 - вероятность невыполнения этой оценки. С помощью частоты M/N может быть получена оценка математического ожидания m x некоторой случайной величины X. Ошибка этой оценки

находится с помощью соотношения

Отсюда видно, что ошибка моделирования находится в квадратичной зависимости от числа реализаций, т.е.

Пример 2. Допустим, что определяется математическое ожидание ошибки x поражения мишени. Процесс стрельбы и поражения моделируется на ЦВМ по методу Монте-Карло. Требуется точность моделирования? = 0,1 м с вероятностью p = 1-p 0 = 0,9 при заданной дисперсии? x = 1 м. Необходимо определить количество моделирований N. По формуле (13) получаем:

При таком количестве реализаций обеспечивается?=0,1 м с вероятностью p=0,9.

Другим методом оценки или анализа чувствительности на основе компьютерной имитации является метод Монте-Карло, под которым понимают определенный метод решения некоторого класса экономических или математических задач, в которых те или иные параметры, в нашем случае факторы риска, моделируются в форме случайных величин. Этот метод основан на компьютерной имитации распределений этих случайных величин и формировании соответствующих оценочных показателей проектов на основе этих распределений. Он представляет собой имитационный метод анализа устойчивости, который исторически получил свое название по названию города, в котором располагаются известные игорные дома и казино. Термин "моделирование по методу Монте-Карло" был предложен американскими учеными С. Уламом и Дж. фон Нейманом в процессе работы в рамках известного Манхэттенского проекта. Первая статья по этой проблематике была написана в 1949 г. .

С одной стороны, метод Монте-Карло представляет собой определенную модификацию рассмотренного выше дискретного анализа чувствительности, поскольку речь идет об оценке влияния изменения параметров денежного потока на чистую настоящую стоимость и другие критерии оценки инвестиционных проектов. С другой - основное отличие от дискретного метода состоит в том, что в процессе применения метода Монте-Карло формируется некоторое распределение значений чистой настоящей стоимости проекта, ставки внутреннего процента, индекса доходности и других показателей, которое определяется в зависимости от имитируемых случайных распределений выбранных факторов риска. Это позволяет получать определенные оценки этого распределения в форме дисперсии, стандартного отклонения или коэффициента вариации по чистой настоящей стоимости или иному результирующему показателю, анализ которых позволяет сделать выводы об устойчивости будущих условий исполнения проекта, возможностях получения благоприятных или неблагоприятных результатов. Рассматриваемый метод основан на имитационном моделировании на компьютере случайных распределений выбранных параметров денежного потока - факторов риска, на базе которых формируется распределение показателей оценки рассматриваемого проекта .

При проведении расчетов по методу Монте-Карло предполагается, что известны значения всех параметров, определяющих величину отдельных компонентов денежного потока инвестиционного проекта. Для тех параметров, которые рассматриваются в качестве факторов риска, исходное значение принимается в качестве ожидаемого при моделировании случайного распределения этого фактора на ЭВМ.

Организационно метод Монте-Карло как метод имитационного компьютерного моделирования можно описать такой последовательностью основных этапов.

Определение основных показателей оценки инвестиционного проекта , по отношению к которым будет измеряться влияние факторов риска. К числу таких показателей могут быть отнесены: чистая настоящая стоимость проекта, ставка внутреннего процента, индекс доходности, период окупаемости или другие по желанию инвестора, предполагающего осуществить рассматриваемый проект.

Выделение параметров , рассматриваемых как факторы риска , которые будут моделироваться в форме случайных величин. Для их численной реализации предполагается проводить компьютерное моделирование на основе генераторов псевдослучайных чисел, встроенных в пакет Microsoft Excel, на основе заранее выбранной формы распределения. Для анализа выделяют те компоненты денежного потока, которые, но мнению инвестора, менеджера или эксперта в соответствующей области, оказывают наиболее сильное влияние на изменение выделенного показателя проекта, т.е. являются наиболее существенными факторами риска. В принципе можно рассмотреть, как случайные все параметры всех компонентов денежного потока, но это связано с тремя проблемами. Во-первых, увеличение числа выделенных случайных параметров может привести к противоречивым результатам вследствие коррелированное™ рассматриваемых реализаций случайных величин; во-вторых, это может потребовать больше времени для анализа полученных результатов и обоснования влияния отдельных факторов; в-третьих, останется невыявленным, какие именно факторы повлияли на результаты.

Выбор формы распределения случайных величин , на основе которых будет проведена компьютерная имитация их численной реализации. Он осуществляется на основе некоторых представлений о распределениях рассматриваемых показателей. В числе подобных распределений можно отметить: нормальное, логнормальное (чаще используется при моделировании параметров финансовых рынков), треугольное, равномерное и др. Нормальное, треугольное и равномерное распределения являются симметричными, и их использование опирается на предположение о симметричном распределении будущих результатов, хотя и с различной плотностью заполнения. Логнормальное распределение не является симметричным, и его применение опирается на предпосылку о том, что большая часть значений случайной величины сдвинута в определенную сторону относительно ожидаемого значения.

В данной книге при проведении экспериментальных расчетов по методу Монте-Карло при моделировании случайных величин - выбранных параметров денежного потока - используется нормальное распределение .

Имитационное моделирование случайных величин - выбранных параметров денежного потока. Для моделирования численной реализации соответствующей случайной величины используют встроенный генератор псевдослучайных чисел в опции "Анализ данных" меню "Сервис" пакета Microsoft Excel. В этом случае должно быть заранее задано ожидаемое значение рассматриваемого параметра и его стандартное отклонение, а также количество численных реализаций случайных величин, которые должны быть получены в течение одного цикла имитационных расчетов. Для подобных расчетов можно также применять специальные пакеты прикладных программ.

Если моделируется несколько случайных величии одновременно, то необходимо проверить отсутствие корреляции между каждой парой полученных их численных реализаций. Возможности использования при этом критериев проверки статистических гипотез поясним ниже.

Учитывая каждую полученную реализацию рассматриваемой случайной величины, а также параметры денежных потоков, которые предполагаются фиксированными, выполняются расчеты денежных потоков для каждой полученной реализации указанных случайных величин. Количество денежных потоков совпадает с выбранным числом реализаций этих величин. На основе этих денежных потоков происходит формирование распределения чистой настоящей стоимости проекта или других оценочных показателей рассматриваемого проекта в каждом цикле имитационных расчетов.

Определение характеристик распределения чистой настоящей стоимости проекта , полученного в результате одного цикла имитационных расчетов, в том числе ожидаемого значения чистой настоящей стоимости проекта, дисперсии и стандартного отклонения, и других показателей полученного распределения данного показателя. К их числу можно отнести наибольшее и наименьшее значения чистой настоящей стоимости, коэффициент вариации как дополнительную характеристику распределения, вероятность реализации отрицательного значения чистой настоящей стоимости, т.е. невыгодного для инвестора результата исполнения проекта. В последнем случае указанная вероятность определяется как отношение числа отрицательных значений чистой настоящей стоимости в полученном распределении к общему количеству выполненных экспериментов в рамках одного цикла имитационных расчетов:

где k - число отрицательных значений чистой настоящей стоимости в полученной в процессе имитации выборке; т - количество проведенных имитационных экспериментов. Подобная оценка вероятности неблагоприятных исходов опирается на предположение о том, что вероятность каждого исхода в процессе одного цикла имитационного моделирования одинакова и составляет р = 1 /т. Аналогичные расчеты могут быть выполнены и для ставки внутреннего процента, индекса доходности, периода окупаемости.

При проведении расчетов можно использовать встроенные статистические функции пакета Microsoft Excel (табл. 5.12), которые задаются на распределении NPV или с помощью другого расчетного показателя, полученного в результате одного цикла имитационных расчетов.

Таблица 5.12

Используемые встроенные функции пакета Microsoft Excel

Последовательное многократное повторение циклов имитационных расчетов , выполняемых по этапам 4 и 5, предполагающее последовательное формирование распределений значений чистой настоящей стоимости, а также соответствующих им наборов значений оценочных показателей, представленных на этапе 5.

Для проверки устойчивости полученных характеристик распределения чистой настоящей стоимости и повышения качества обоснованности выводов должно быть выполнено нескольких сот или тысяч циклов итерационных расчетов в режиме имитации.

Анализ основных результатов. Результаты применения метода Монте-Карло для анализа и оценки устойчивости проекта к выделенным факторам риска могут быть представлены в двух формах. Прежде всего речь может идти об анализе полученных в результате имитационных расчетов количественных значений показателей, характеризующих параметры полученного распределения чистой настоящей стоимости проекта или других оценочных показателей. К числу таких показателей можно отнести: ожидаемое значение чистой настоящей стоимости; дисперсию, стандартное отклонение и коэффициент вариации как меры риска; наибольшее и наименьшее значения чистой настоящей стоимости по полученной выборке; вероятность получения отрицательного значения чистой настоящей стоимости проекта. В процессе многократного повторения цикла имитационных расчетов можно построить среднее по данной выборке значение для каждого указанного показателя, рассматривая их как определенные ожидаемые характеристики воздействия факторов риска на условия исполнения данного инвестиционного проекта.

Анализ распределения значений указанных показателей, полученных в результате достаточно большого числа итераций, позволяет сделать определенные выводы об относительной устойчивости чистой настоящей стоимости проекта, ожидаемого значения и стандартного отклонения получаемого распределения NPV, вероятности получения отрицательного значения NPV проекта при условии изменения выделенных случайных величин в соответствии с выбранной формой их распределения. Эту устойчивость можно оценить визуально, построив графики выборочных значений указанных показателей, или с помощью соответствующих статистических оценок, определяемых на основе полученной выборки соответствующего показателя. Аналогичный анализ может быть выполнен и в том случае, если используются другие критерии оценки проекта.

Рис. 5.4.

Другой формой результата компьютерной имитации или исследований по методу Монте-Карло могут быть различные графики. Речь идет о частотных гистограммах значений чистой настоящей стоимости, которые формируются в зависимости от частоты попадания имитируемых значений чистой настоящей стоимости в выделенные интервалы или группы ее значений, а также о графиках распределения вероятности отрицательного значения чистой настоящей стоимости или других оценочных показателей .

Общая последовательность расчетов по методу Монте-Карло представлена на рис. 5.4. Соответствующие расчеты могут быть выполнены только на ЭВМ при использовании встроенных возможностей пакета Microsoft Excel или иных пакетов прикладных программ.

Покажем возможности реализации метода Монте-Карло и особенности анализа полученных результатов на основе следующего условного примера. Все исходные данные по рассматриваемому проекту приведены в табл. 5.13.

Таблица 5.13

Исходные данные по проекту

Показатель
Коэффициент использования мощностей, %
Ожидаемая цена реализации, руб.
Стандартное отклонение цены реализации, руб.
Инвестиции, руб.
Условно-постоянные расходы, руб/год
Условно-переменные расходы, руб/сд. ирод.
Стандартное отклонение условно-переменных расходов

Выделим параметры и сформируем исходный денежный поток данного инвестиционного проекта. Расчеты компонентов денежного потока выполнены по формулам

где k t - коэффициент использования производственной мощности в году t, M t - производственная мощность предприятия в году t, p t - цена продукции в период t; h f - норма условно-переменных расходов в году t; H f - условно-постоянные расходы в период t,t= 1, 2,..., T; T - период исполнения проекта.

Результаты расчета исходного денежного потока по формулам (5.10) приведены в табл. 5.14.

В данном примере рассматривается компьютерное моделирование двух факторов риска: цены продукции во втором году и условно-переменных расходов в третьем году. Имитационное моделирование осуществляется на основе предположения о нормальном распределении обоих факторов.

Таблица 5.14

Параметры и денежный поток инвестиционного проекта

	Инвестиции		Коэффициент использования мощностей, %	Максимальный объем выпуска, ед. изд.	Ожидаемая пеалнзанмн.		постоянные	Условно- переменные расходы, руб/ед. ирод.	Денежный
			-

Для цены второго года в качестве ожидаемого или среднего значения выбирается 30 руб. (см. табл. 5.13), а стандартное отклонение полагается равным 2. Для условно-переменных расходов третьего года, соответственно, ожидаемое значение равно 16 руб. (см. табл. 5.13), а стандартное отклонение было выбрано равным 1. Оценка стандартного отклонения может быть получена на основе представлений о возможных интервалах колебаний соответствующего показателя. Так, если ожидаемое колебание цены реализации второго года составляет 6 руб. в обе стороны от ожидаемого значения, то, учитывая, что в условиях нормального распределения практически почти весь интервал составляет ±3а, приблизительная оценка стандартного отклонения в данном случае равна 6/3 = 2 руб. Аналогично могут быть получены и другие значения стандартного отклонения, приведенные в табл. 5.13.

При компьютерном моделировании случайной реализации обоих выбранных показателей были использованы встроенные возможности пакета Microsoft Excel по генерации псевдослучайных величин на основе нормального распределения. Каждый цикл имитационных расчетов включал в себя 100 итераций. Результаты одного цикла расчетов обоих случайных величин приведены в табл. 5.15.

Прежде чем выполнять дальнейшие расчеты, необходимо проверить гипотезу об отсутствии корреляции между обеими случайными величинами, распределения которых приведены в табл. 5.15. Для этого, используя встроенную функцию "КОРРЕЛ" пакета Microsoft Excel, рассчитаем выборочный коэффициент парной корреляции, значение которого составит r ph = -0,10906, т.е. почти равно нулю. Для формальной проверки гипотезы

Таблица 5.15

Имитация распределения случайных величин, руб.

І Іомер итерации	Цена второго года, руб.	Условно-переменные расходы третьего года, руб/ед. прод.
	Среднее значение - 30	Среднее значение -16
	Стандартное отклонение - 2	Стандартное отклонение - 1

об отсутствии корреляции между рассматриваемыми случайными величинами необходимо построить статистику

где п - объем выборки, т.е. число итераций в одном цикле имитационных расчетов, и сопоставить ее со статистикой t a (n - 2), имеющей распределение Стъюдента сп - 2 степенями свободы и доверительный уровень а. Учитывая указанное значение выборочного коэффициента корреляции и объем выборки п = 100, в данном случае получим:

что по модулю меньше соответствующего табличного значения квантиля распределения Стьюдента с 98 степенями свободы и доверительным уровнем 0,95, которое составляет 1,984. Это позволяет принять гипотезу Н {) с вероятностью ошибки первого рода, равной 0,05.

Используя полученные численные реализации цены второго года и условно-переменных расходов третьего года (см. табл. 5.15), а также заданные значения остальных параметров денежного потока (см. табл. 5.14), формируются денежные потоки инвестиционного проекта, соответствующие полученным значениям цен на каждой итерации. Расчеты выполнены по формулам (5.10). Всего сформировано 100 денежных потоков. Результаты расчетов приведены в табл. 5.16.

Таблица 5.16

итерации

Используя полученные значения денежных потоков, проведем расчеты чистой настоящей стоимости проекта по формуле

Была использована ставка расчетного процента, равная 12%. Эти расчеты выполнены в пакете Microsoft Excel с помощью встроенной финансовой функции "ЧПС", используемой для вычисления значений чистой настоящей стоимости. Результаты расчетов приведены в табл. 5.17.

Таблица 5.17

Варианты денежного потока рассматриваемого проекта в рамках одного цикла имитационных расчетов, руб.

Номер итерации	Чистая настоящая стоимость	Номер итерации	Чистая настоящая стоимость

Используя полученное распределение значений чистой настоящей стоимости проекта, можно определить основные характеристики, отражающие степень влияния факторов риска на чистую настоящую стоимость этого проекта. Построим частотную гистограмму значений чистой настоящей стоимости. Для этого все полученные на 100 итерациях значения чистой настоящей стоимости проекта подразделим на группы следующим образом. В первую группу включим те значения чистой настоящей стоимости, которые не превосходят -20 000 руб., а далее с шагом 10 000 руб. сформируем еще семь групп значений чистой настоящей стоимости, со 2-й но 8-ю, причем в последнюю группу включим те значения чистой настоящей стоимости, которые превышают 50 000 руб., и определим количество значений чистой настоящей стоимости, попавшей в каждую выделенную группу (табл. 5.18).

Распределение полученных значений чистой настоящей стоимости по группам, которые указаны в табл. 5.18, можно представить на следующей частотной гистограмме (рис. 5.5). Эта гистограмма показывает, что наибольшее количество полученных значений NPV располагается в интервале от -10 000 до 30 000. Она дает также определенное представление о возможных отрицательных значениях чистой настоящей стоимости, которые в данном примере попали в 1 -ю, 2-ю и 3-ю группы. При этом большая часть

Таблица 5.18

Группировка расчетных значений чистой настоящей стоимости

Рис. 55.

расчетных величин NPV рас полагается в области положительных значений. Конкретные значения частот попадания в каждый интервал зависят от полученного распределения выделенных случайных переменных, в нашем примере цен реализации второго года и условно-переменных расходов третьего, которые и рассматриваются как факторы риска. Полученный результат существенно зависит от предположения о нормальном распределении указанных выше факторов.

Метод Монте-Карло позволяет проанализировать влияние факторов риска - выбранных параметров проекта - на изучаемые показатели его оценки. В нашем примере в качестве такого показателя рассматривается чистая настоящая стоимость. Результаты расчетов шести показателей, характеризующих распределения NPV, построенные последовательно на каждом из выполненных 10 циклов имитационных расчетов, приведены в табл. 5.19.

Все они выполнены при одинаковом предположении нормального распределения рассматриваемых случайных переменных и сохранении их характеристик - среднего или ожидаемого значения и стандартного отклонения. В качестве факторов риска в процессе выполненных экспериментальных расчетов в данном примере были выбраны цены второго года и условно-переменные расходы третьего года; для каждого из этих факторов параметры распределения сохранялись одинаковыми во всех 10 циклах имитационных расчетов. В принципе можно проводить имитационные расчеты по методу Монте- Карло с переменным стандартным отклонением. В этом случае большую сложность представляет анализ устойчивости полученных результатов.

Проанализируем подробнее результаты расчетов, которые приведены в табл. 5.19. При этом показатели для 1-го цикла имитационных расчетов были определены на основе распределения NPV, представленного в табл. 5.17.

Таблица 5.19

Характеристики распределений NPV, полученных в режиме имитации, руб.

Показатель	Цикл имитационных расчетов
Ожидаемое значение NPV
Стандартное отклонение NPV
Коэффициент вариации
Вероятность отрицательного значения NPV
Наибольшее значение NPV
Наименьшее значение NPV

Во-первых, ожидаемое значение NPV во всех 10 циклах имитационных расчетов оказалось положительным, большая часть полученных значений NPV для каждого распределения сдвинута в положительную область.

Во-вторых, стандартное отклонение для каждого распределения NPV, полученного в режиме имитации, больше ожидаемого значения NPV. Указанное соотношение отражает и значение коэффициента вариации, которое больше единицы для всех циклов имитационных расчетов и позволяет сделать вывод о возможности реализации отрицательного значения NPV в процессе исполнения данного проекта.

В-третьих, этот вывод подтверждают полученные оценки вероятности отрицательного значения NPV проекта, которое определяется в соответствии с формулой (5.9) как отношение числа полученных отрицательных значений чистой настоящей стоимости на данном цикле имитационных расчетов к общему числу итераций, которое равно 100. Для всех проведенных циклов имитационных расчетов эта вероятность составляет примерно 30%.

В-четвертых, максимальные и минимальные значения NPV проекта дают представление о возможном интервале колебаний или разброса значений NPV проекта. Указанные данные еще раз подтверждают, что стандартное отклонение характеризует лишь часть интервала колебаний значения чистой настоящей стоимости проекта, определенного в результате имитационных расчетов.

В-пятых, представленные в табл. 5.19 данные позволяют сделать выводы об устойчивости полученных на каждом цикле имитационных расчетов характеристик распределений NPV, что собственно и дает возможность интерпретировать полученные средние оценки эмпирических результатов как соответствующие условиям исполнения проекта. Эту устойчивость можно проверять различными способами.

1. Можно использовать визуальную оценку распределения результатов, представленных в табл. 5.19. Так, на рис. 5.6 приведено распределение вероятности отрицательного значения NPV r полученное в 10 циклах имитационных расчетов.

При анализе графика, приведенного на рис. 5.6, очевидно, что полученный интервал колебаний этой вероятности достаточно узок. Если использовать максимальное и минимальное значения этой вероятности, то можно показать, что отклонения от среднего значения этой вероятности по данной выборке, которое равно 0,31, составляет примерно 13% в обе стороны.

Рис. 5.6. Вероятность отрицательного значения NPV по циклам имитации

Аналогично можно выделить интервал колебания ожидаемого значения чистой настоящей стоимости проекта. Как показывают данные табл. 5.19, во всех циклах имитационных расчетов ожидаемая NPV имела положительное значение, хотя и была подвержена определенным колебаниям. График, приведенный на рис. 5.7, показывает, как возможные тенденции изменения указанного показателя, так и интервал колебаний его значения по выполненным циклам имитационных расчетов.

Рис. 5.7. Ожидаемое значение NPV по циклам имитации

Если учесть, что среднее по выборке значение ожидаемой чистой настоящей стоимости - 6332,38 руб., то можно показать, что интервал колебаний расчетных значений составляет примерно 24% в обе стороны от среднего значения. Полученные оценки весьма зависят от числа выполненных циклов имитационных расчетов и, естественно, будут меняться при проведении последующих циклов. Относительная надежность подобных оценок возрастает по мере роста числа циклов имитационных расчетов и расширения объема выборки, представленной в табл. 5.19. Аналогичный анализ может быть выполнен и для других показателей, определяемых в каждом цикле имитационных расчетов (см. табл. 5.19).

2. При существенном увеличении количества циклов имитационных расчетов и расширении выборки полученных результатов можно использовать формальные критерии проверки гипотез и на их основе формировать выводы об устойчивости полученных результатов и конкретных значений тех или иных расчетных параметров. Проверка статистических гипотез основана на формировании проверочных статистик, которые определяются с учетом выборки рассматриваемого показателя, а также предположения о том, что проверочная статистика имеет заданное распределение. Выше при проверке гипотезы о равенстве нулю коэффициента парной корреляции рассматривалась так называемая простая гипотеза в предположении, что проверочная статистика имела распределение Стъюдента с п - 2 степенями свободы. Особенность проверки статистических гипотез состоит в том, что они принимаются с определенным уровнем доверия. Результаты соответствующего теста могут содержать ошибки первого рода, когда гипотеза отвергается, если она верна, и ошибки второго рода, когда гипотеза принимается в том случае, если она неверна или верна альтернативная гипотеза , т.е. получаемый в процессе подобного тестирования ответ не носит абсолютного характера.

Принятие решения об исполнении или неисполнении инвестиционного проекта на основе данных, полученных по методу Монте-Карло, прежде всего предполагает анализ полученных распределений значений чистой настоящей стоимости проекта, который можно проводить на основе гистограммы, аналогичной показанной на рис. 5.5. Подобная гистограмма может быть также построена для среднего по всем реализациям распределения NPV.

Если все значения распределения NPV на каждом цикле имитационных расчетов оказываются положительными, то проект можно рекомендовать к исполнению, в противном случае, если все значения распределения NPV проекта отрицательны на каждом цикле имитационных расчетов, проект не рекомендуется к исполнению. Во всех других случаях необходимо сопоставлять шансы на получение положительного и отрицательного значений NPV. Для гистограммы, представленной на рис. 5.5, можно отметить, что положительные значения NPV достигаются для групп с 4-й по 8-ю. Учитывая данные табл. 5.18, можно отметить, что по данной выборке 65% значений NPV положительны и только 35% отрицательны. Аналогичный анализ можно выполнить и по среднему значению распределения по всем циклам имитационных расчетов.

В литературе, посвященной проблемам оценки инвестиционных проектов по методу Монте-Карло, предлагается рассчитать еще некоторые показатели по выборке NPV при предположении, что результаты на каждой итерации в течение одного цикла имитационных расчетов имеют одинаковую вероятность р= 1 /п. Именно на основе данного подхода рассчитаны значения ожидаемой NPV в табл. 5.19. Предлагается по такой же схеме определять "ожидаемый выигрыш" по положительным значениям NPV в полученной выборке и "ожидаемый проигрыш" - по отрицательным значениям NPV в этой выборке .

Учитывая, что NPV - это критерий выбора проекта, а не содержательная оценка его полезных результатов, требуется дополнительная содержательная интерпретация указанных показателей "выигрышей" и "проигрышей". Однако в том случае, когда в качестве итогового моделируемого показателя рассматривается доход за определенный период, по полученной в результате имитации выборке можно строить оценки среднего положительного дохода или убытка.

Принятие инвестиционного проекта к исполнению или нет зависит от сформированных в результате имитации распределений значений NPV и полученных характеристик этого распределения. Характеристики распределения NPV (см. табл. 5.19) меняются при каждом цикле имитационных расчетов. Поэтому особое значение приобретает анализ устойчивости установленных путем имитационных расчетов результатов, который позволяет получить дополнительную информацию для принятия решения. Речь идет не столько о том, каковы конкретные значения получаемых результатов, сколько о том, насколько они устойчивы и не будут ли они сильно меняться под фактическим воздействием выделенных факторов риска. Результаты этого анализа носят относительный характер как в случае, когда этот анализ выполняется визуально, так и если говорят об оценке основных критериев проверки статистических гипотез. Поэтому для лица, принимающего решение, существенно, соответствуют ли полученные интервалы колебания характеристик распределения его представлениям о будущих колебаниях соответствующего показателя или удовлетворяет ли его доверительный уровень выполнения соответствующей гипотезы.

Окончательное решение менеджера об исполнении или неисполнении рассматриваемого проекта принимается на основе всей указанной выше информации с учетом его склонности или несклонности к риску, которая находит свое отражение в том, считает ли это лицо для себя возможным реализацию проекта с полученными характеристиками распределения NPV и существуют ли у него те или иные возможности управления рисками данного проекта в том случае, если его развитие пойдет по неблагоприятному пути. Формальные критерии выбора решения на основе информации, получаемой в процессе моделирования по методу Монте-Карло, в настоящее время не разработаны, что относят к одному из основных недостатков данного метода оценки и обоснования инвестиционных проектов в условиях риска.

При использовании метода Монте-Карло следует иметь в виду, что в процессе его реализации речь идет об оценке общей устойчивости проекта к изменению выделенных факторов риска (в нашем примере - цены и условно-переменных расходов). Это связано с тем, что данный метод, как и дискретный анализ чувствительности, основан не на использовании возможных будущих изменений выделенного внешнего фактора риска, например, цен, на соответствующем рынке, а опирается на компьютерную имитацию распределений выделенных факторов риска. Результаты существенно зависят от объема полученной выборки оценочных показателей, при этом их конкретные значения могут существенно изменяться от циклу к циклу имитационных расчетов. В этом также состоят недостатки метода Монте- Карло как имитационного метода анализа риска проектов долгосрочных инвестиций.

Иногда разделяют сумму инвестиций в проект и расходы по будущему бизнесу, которые возникают до завершения строительства и запуска в эксплуатацию, например, в форме расходов на отопление, освещение, управленческие расходы, ото и учитывает параметр H₀.

Подробнее о проверке гипотез см.: Магнус Я. Р.. Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс. М.: Дело, 1997. С. 219-221.

Риск-менеджмент инвестиционного проекта: учебник / под ред. М. В. Грачевой, Л. Б. Сикерина. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2009. С. 169-170.

Метод Монте-Карло (методы Монте-Карло, ММК) - общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализаций стохастического (случайного) процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с аналогичными величинами решаемой задачи.

Многие системы слишком сложны для исследования влияния неопределенности с использованием аналитических методов. Однако такие системы можно исследовать, если рассматривать входные данные в виде случайных переменных, повторяя большое количество вычислений N (итераций), для получения результата с необходимой точностью.

Метод может быть применен в сложных ситуациях, которые трудны для понимания и решения с помощью аналитических методов. Модели систем могут быть разработаны с использованием таблиц и других традиционных методов. Однако существуют и более современные программные средства, удовлетворяющие высоким требованиям, многие из которых относительно недороги. Если модель разрабатывают и применяют впервые, то необходимое для метода Монте-Карло количество итераций может сделать получение результатов очень медленным и трудоемким. Однако современные достижения компьютерной техники и разработка процедур генерации данных по принципу латинского гиперкуба позволяют сделать продолжительность обработки незначительной во многих случаях.

Область применения

Метод Монте-Карло является способом оценки влияния неопределенности оценки параметров системы в широком диапазоне ситуаций. Метод обычно используют для оценки диапазона изменения результатов и относительной частоты значений в этом диапазоне для количественных величин, таких как стоимость, продолжительность, производительность, спрос и др. Моделирование методом Монте-Карло может быть использовано для двух различных целей:

• трансформирование неопределенности для обычных аналитических моделей;
• расчета вероятностей, если аналитические методы не могут быть использованы.

Метод Монте-Карло может быть применен для оценки неопределенности финансовых прогнозов, результатов инвестиционных проектов, при прогнозировании стоимости и графика выполнения проекта, нарушений бизнес-процесса и замены персонала.

Данный метод применяют в ситуациях, когда результаты не могут быть получены аналитическими методами или существует высокая неопределенность входных или выходных данных.

Входные данные

Входными данными для моделирования методом Монте-Карло являются хорошо проработанная модель системы, информация о типе входных данных, источниках неопределенности и требуемых выходных данных. Входные данные и соответствующую им неопределенность рассматривают в виде случайных переменных с соответствующими распределениями. Часто для этих целей используют равномерные, треугольные, нормальные и логарифмически нормальные распределения.

Процесс моделирования

Процесс включает следующие этапы:

1. Определение модели или алгоритма, которые наиболее точно описывают поведение исследуемой системы.
2. Многократное применение модели с использованием генератора случайных чисел для получения выходных данных модели (моделирование системы). При необходимости моделируют воздействие неопределенности. Модель записывают в форме уравнения, выражающего соотношение между входными и выходными параметрами. Значения, отобранные в качестве входных данных, получают исходя из соответствующих распределений вероятностей, характеризующих неопределенности данных.
3. С помощью компьютера многократно используют модель (часто до 10000 раз) с различными входными данными и получают выходные данные. Они могут быть обработаны с помощью статистических методов для получения оценок среднего, стандартного отклонения, доверительных интервалов.

Выходные данные

Выходными данными могут быть значения характеристик, как показано в вышеприведенном примере, или распределение вероятности или частоты отказа, или выходом может быть идентификация основных функций модели, которые оказывают основное влияние на выходные данные.

Метод Монте-Карло обычно используют для оценки распределения входных или выходных результатов или характеристик распределения, в том числе для оценки:

• вероятности установленных состояний;
• значений выходных величин, для которых установлены границы, соответствующие некоторому уровню доверия, которые не должны быть нарушены.

Анализ взаимосвязи входных и выходных величин может выявить относительное значение факторов работы системы и идентифицировать способы снижения неопределенности выходных величин.

Преимущества

• Метод может быть адаптирован к любому распределению входных данных, включая эмпирические распределения, построенные на основе наблюдений за соответствующими системами.
• Модели относительно просты для работы и могут быть при необходимости расширены.
• Метод позволяет учесть любые воздействия и взаимосвязи, включая такие тонкие как условные зависимости.
• Для идентификации сильных и слабых влияний может быть применен анализ чувствительности.
• Модели являются понятными, а взаимосвязь между входами и выходами - прозрачной.
• Метод допускает применение эффективных моделей исследования многокомпонентных систем, таких как сеть Петри .
• Метод позволяет достичь требуемой точности результатов.
• Программное обеспечение метода доступно и относительно недорого.

Недостатки

• Точность решений зависит от количества итераций, которые могут быть выполнены (этот недостаток становится менее значимым с увеличением быстродействия компьютера).
• Метод предполагает, что неопределенность данных можно описать известным распределением.
• Большие и сложные модели могут представлять трудности для специалистов по моделированию и затруднять вовлечение заинтересованных сторон.
• Метод не может адекватно моделировать события с очень высокой или очень низкой вероятностью появления, что ограничивает его применение при анализе риска.

Стандарты

• МЭК 61649 Критерии согласия, доверительные интервалы и нижние доверительные границы для распределения Вейбулла
• Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008 Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения

Статистическое моделирование - базовый метод моделирования, заключающийся в том, что модель испытывается множеством случайных сигналов с заданной плотностью вероятности. Целью является статистическое определение выходных результатов. В основе статистического моделирования лежит метод Монте-Карло . Напомним, что имитацию используют тогда, когда другие методы применить невозможно.

Метод Монте-Карло

Рассмотрим метод Монте-Карло на примере вычисления интеграла, значение которого аналитическим способом найти не удается.

Задача 1. Найти значение интеграла:

На рис. 1.1 представлен график функции f (x ). Вычислить значение интеграла этой функции - значит, найти площадь под этим графиком.

Рис. 1.1

Ограничиваем кривую сверху, справа и слева. Случайным образом распределяем точки в прямоугольнике поиска. Обозначим через N 1 количество точек, принятых для испытаний (то есть попавших в прямоугольник, эти точки изображены на рис. 1.1 красным и синим цветом), и через N 2 - количество точек под кривой, то есть попавших в закрашенную площадь под функцией (эти точки изображены на рис. 1.1 красным цветом). Тогда естественно предположить, что количество точек, попавших под кривую по отношению к общему числу точек пропорционально площади под кривой (величине интеграла) по отношению к площади испытуемого прямоугольника. Математически это можно выразить так:

Рассуждения эти, конечно, статистические и тем более верны, чем большее число испытуемых точек мы возьмем.

Фрагмент алгоритма метода Монте-Карло в виде блок-схемы выглядит так, как показано на рис. 1.2

Рис. 1.2

Значения r 1 и r 2 на рис. 1.2 являются равномерно распределенными случайными числами из интервалов (x 1 ; x 2) и (c 1 ; c 2) соответственно.

Метод Монте-Карло чрезвычайно эффективен, прост, но необходим "хороший" генератор случайных чисел. Вторая проблема применения метода заключается в определении объема выборки, то есть количества точек, необходимых для обеспечения решения с заданной точностью. Эксперименты показывают: чтобы увеличить точность в 10 раз, объем выборки нужно увеличить в 100 раз; то есть точность примерно пропорциональна корню квадратному из объема выборки:

Схема использования метода Монте-Карло при исследовании систем со случайными параметрами

Построив модель системы со случайными параметрами, на ее вход подают входные сигналы от генератора случайных чисел (ГСЧ), как показано на рис. 1.3 ГСЧ устроен так, что он выдает равномерно распределенные случайные числа r рр из интервала . Так как одни события могут быть более вероятными, другие - менее вероятными, то равномерно распределенные случайные числа от генератора подают на преобразователь закона случайных чисел (ПЗСЧ), который преобразует их в заданный пользователем закон распределения вероятности, например, в нормальный или экспоненциальный закон. Эти преобразованные случайные числа x подают на вход модели. Модель отрабатывает входной сигнал x по некоторому закону y = ц (x ) и получает выходной сигнал y , который также является случайным.

статистическое моделирование случайная величина

Рис. 1.3

В блоке накопления статистики (БНСтат) установлены фильтры и счетчики. Фильтр (некоторое логическое условие) определяет по значению y , реализовалось ли в конкретном опыте некоторое событие (выполнилось условие, f = 1) или нет (условие не выполнилось, f = 0). Если событие реализовалось, то счетчик события увеличивается на единицу. Если событие не реализовалось, то значение счетчика не меняется. Если требуется следить за несколькими разными типами событий, то для статистического моделирования понадобится несколько фильтров и счетчиков N i . Всегда ведется счетчик количества экспериментов - N .

Далее отношение N i к N , рассчитываемое в блоке вычисления статистических характеристик (БВСХ) по методу Монте-Карло, дает оценку вероятности p i появления события i , то есть указывает на частоту его выпадения в серии из N опытов. Это позволяет сделать выводы о статистических свойствах моделируемого объекта.

Например, событие A совершилось в результате проведенных 200 экспериментов 50 раз. Это означает, согласно методу Монте-Карло, что вероятность совершения события равна: p A = 50/200 = 0.25. Вероятность того, что событие не совершится, равна, соответственно, 1 - 0.25 = 0.75.

Обратите внимание: когда говорят о вероятности, полученной экспериментально, то ее называют частостью; слово вероятность употребляют, когда хотят подчеркнуть, что речь идет о теоретическом понятии.

При большом количестве опытов N частота появления события, полученная экспериментальным путем, стремится к значению теоретической вероятности появления события.

В блоке оценки достоверности (БОД) анализируют степень достоверности статистических экспериментальных данных, снятых с модели (принимая во внимание точность результата е , заданную пользователем) и определяют необходимое для этого количество статистических испытаний. Если колебания значений частоты появления событий относительно теоретической вероятности меньше заданной точности, то экспериментальную частоту принимают в качестве ответа, иначе генерацию случайных входных воздействий продолжают, и процесс моделирования повторяется. При малом числе испытаний результат может оказаться недостоверным. Но чем более испытаний, тем точнее ответ, согласно центральной предельной теореме.

Заметим, что оценивание ведут по худшей из частот. Это обеспечивает достоверный результат сразу по всем снимаемым характеристикам модели.

Пример 1. Решим простую задачу. Какова вероятность выпадения монеты орлом кверху при падении ее с высоты случайным образом?

Начнем подбрасывать монетку и фиксировать результаты каждого броска (см. табл. 1.1).

Таблица 1.1.

Результаты испытаний бросания монеты

Будем подсчитывать частость выпадения орла как отношение количества случаев выпадения орла к общему числу наблюдений. Посмотрите в табл. 1.1 случаи для N = 1, N = 2, N = 3 - сначала значения частости нельзя назвать достоверными. Попробуем построить график зависимости P о от N - и посмотрим, как меняется частость выпадения орла в зависимости от количества проведенных опытов. Разумеется, при различных экспериментах будут получаться разные таблицы и, следовательно, разные графики. На рис. 1.4 показан один из вариантов.

Рис. 1.4

Сделаем некоторые выводы.

• 1. Видно, что при малых значениях N , например, N = 1, N = 2, N = 3 ответу вообще доверять нельзя. Например, P о = 0 при N = 1, то есть вероятность выпадения орла при одном броске равна нулю! Хотя всем хорошо известно, что это не так. То есть пока мы получили очень грубый ответ. Однако, посмотрите на график: в процессе накопления информации ответ медленно, но верно приближается к правильному (он выделен пунктирной линией). К счастью, в данном конкретном случае правильный ответ нам известен: в идеале, вероятность выпадения орла равна 0.5 (в других, более сложных задачах, ответ нам, конечно, будет неизвестен). Допустим, что ответ нам надо знать с точностью е = 0.1. Проведем две параллельные линии, отстоящие от правильного ответа 0.5 на расстояние 0.1 (см. рис. 1.4). Ширина образовавшегося коридора будет равна 0.2. Как только кривая P о (N ) войдет в этот коридор так, что уже никогда его не покинет, можно остановиться и посмотреть, для какого значения N это произошло. Это и есть экспериментально вычисленное критическое значение необходимого количества опытов N кр э для определения ответа с точностью е = 0.1; е -окрестность в наших рассуждениях играет роль своеобразной трубки точности. Заметьте, что ответы P о (91), P о (92) и так далее уже не меняют сильно своих значений (см. рис. 1.4); по крайней мере, у них не изменяется первая цифра после запятой, которой мы обязаны доверять по условиям задачи.
• 2. Причиной такого поведения кривой является действие центральной предельной теоремы . Пока здесь мы сформулируем ее в самом простом варианте "Сумма случайных величин есть величина неслучайная". Мы использовали среднюю величину P о, которая несет в себе информацию о сумме опытов, и поэтому постепенно эта величина становится все более достоверной.
• 3. Если проделать еще раз этот опыт сначала, то, конечно, его результатом будет другой вид случайной кривой. И ответ будет другим, хотя примерно таким же. Проведем целую серию таких экспериментов (см. рис. 1.5). Такая серия называется ансамблем реализаций. Какому же ответу в итоге следует верить? Ведь они, хоть и являются близкими, все же разнятся. На практике поступают по-разному. Первый вариант - вычислить среднее значение ответов за несколько реализаций (см. табл. 1.2).

Рис. 1.5

Мы поставили несколько экспериментов и определяли каждый раз, сколько необходимо было сделать опытов, то есть N кр э. Было проделано 10 экспериментов, результаты которых были сведены в табл. 1.2 По результатам 10-ти экспериментов было вычислено среднее значение N кр э.

Таблица 1.2.

Экспериментальные данные необходимого количества бросков монеты для достижения точности е

Таким образом, проведя 10 реализаций разной длины, мы определили, что достаточно в среднем было сделать 1 реализацию длиной в 94 броска монеты.

Еще один важный факт. Внимательно рассмотрите график на рис.21.5 На нем нарисовано 100 реализаций - 100 красных линий. Отметьте на нем абсциссу N = 94 вертикальной чертой. Есть какой-то процент красных линий, которые не успели пересечь е -окрестность, то есть (P эксп - е ? P теор? P эксп + е ), и войти в коридор точности до момента N = 94. Обратите внимание, таких линий 5. Это значит, что 95 из 100, то есть 95%, линий достоверно вошли в обозначенный интервал.

Таким образом, проведя 100 реализаций, мы добились примерно 95% -ного доверия к полученной экспериментально величине вероятности выпадения орла, определив ее с точностью 0.1.

Для сравнения полученного результата вычислим теоретическое значение N кр т теоретически. Однако для этого придется ввести понятие доверительной вероятности Q F , которая показывает, насколько мы готовы верить ответу.

Например, при Q F = 0.95 мы готовы верить ответу в 95% случаев из 100. Имеет вид: N кр т = k (Q F ) · p · (1 - p ) /е 2 , где k (Q F ) - коэффициент Лапласа, p - вероятность выпадения орла, е - точность (доверительный интервал). В табл. 1.3 показаны значения теоретической величины количества необходимых опытов при разных Q F (для точности е = 0.1 и вероятности p = 0.5).

Таблица 1.3.

Теоретический расчет необходимого количества бросков монеты для достижения точности е = 0.1 при вычислении вероятности выпадения орла

Как видите, полученная нами оценка длины реализации, равная 94 опытам очень близка к теоретической, равной 96. Некоторое несовпадение объясняется тем, что, видимо, 10 реализаций недостаточно для точного вычисления N кр э. Если вы решите, что вам нужен результат, которому следует доверять больше, то измените значение доверительной вероятности. Например, теория говорит нам, что если опытов будет 167, то всего 1-2 линии из ансамбля не войдут в предложенную трубку точности. Но имейте в виду, количество экспериментов с ростом точности и достоверности растет очень быстро.

Второй вариант, используемый на практике - провести одну реализацию и увеличить полученное для нее N кр э в 2 раза . Это считают хорошей гарантией точности ответа (см. рис. 1.6).

Рис. 1.6. Иллюстрация экспериментального определения N кр э по правилу "умножь на два"

Если присмотреться к ансамблю случайных реализаций , то можно обнаружить, что сходимость частости к значению теоретической вероятности происходит по кривой, соответствующей обратной квадратичной зависимости от числа экспериментов (см. рис. 1.7).

Рис. 1.7

Это действительно так получается и теоретически. Если изменять задаваемую точность е и исследовать количество экспериментов, требуемых для обеспечения каждой из них, то получится табл. 1.4

Таблица 1.4.

Теоретическая зависимость количества экспериментов, необходимых для обеспечения заданной точности при Q F = 0.95

Построим по табл. 1.4 график зависимости N кр т (е ) (см. рис. 1.8).

Рис. 1.8 Зависимость числа экспериментов, требуемых для достижения заданной точности е при фиксированном Q F = 0.95

Итак, рассмотренные графики подтверждают приведенную выше оценку:

Заметим, что оценок точности может быть несколько.

Пример 2. Нахождение площади фигуры методом Монте-Карло. Определите методом Монте-Карло площадь пятиугольника с координатами углов (0, 0), (0,10), (5, 20), (10,10), (7, 0).

Нарисуем в двухмерных координатах заданный пятиугольник, вписав его в прямоугольник, чья площадь, как нетрудно догадаться, составляет (10 - 0) · (20 - 0) = 200 (см. рис. 1.9).

Рис. 1.9

Используем таблицу случайных чисел для генерации пар чисел R , G , равномерно распределенных в интервале от 0 до 1. Число R X (0 ? X ? 10), следовательно, X = 10 · R . Число G будет имитировать координату Y (0 ? Y ? 20), следовательно, Y = 20 · G . Сгенерируем по 10 чисел R и G и отобразим 10 точек (X ; Y ) на рис. 1.9 и в табл. 1.5

Таблица 1.5.

Решение задачи методом Монте-Карло

Статистическая гипотеза заключается в том, что количество точек, попавших в контур фигуры, пропорционально площади фигуры: 6: 10 = S : 200. То есть, по формуле метода Монте-Карло, получаем, что площадь S пятиугольника равна: 200 · 6/10 = 120.

Проследим, как менялась величина S от опыта к опыту (см. табл. 1.6).

Таблица 1.6.

Оценка точности ответа

Поскольку в ответе все еще меняется значение второго разряда, то возможная неточность составляет пока больше 10%. Точность расчета может быть увеличена с ростом числа испытаний (см. рис. 1.10).

Рис. 1.10 Иллюстрация процесса сходимости определяемого экспериментально ответа к теоретическому результату

Лекция 2. Генераторы случайных чисел

В основе метода Монте-Карло (см. Лекцию 1. Статистическое моделирование) лежит генерация случайных чисел, которые должны быть равномерно распределены в интервале (0;1).

Если генератор выдает числа, смещенные в какую-то часть интервала (одни числа выпадают чаще других), то результат решения задачи, решаемой статистическим методом, может оказаться неверным. Поэтому проблема использования хорошего генератора действительно случайных и действительно равномерно распределенных чисел стоит очень остро.

Математическое ожидание m r и дисперсия D r такой последовательности, состоящей из n случайных чисел r i , должны быть следующими (если это действительно равномерно распределенные случайные числа в интервале от 0 до 1):

Если пользователю потребуется, чтобы случайное число x находилось в интервале (a ; b ), отличном от (0;

• 1), нужно воспользоваться формулой x = a + (b - a ) · r , где r - случайное число из интервала (0;
• 1). Законность данного преобразования демонстрируется на рис. 2.1

Рис. 2.1

1) в интервал (a; b)

Теперь x - случайное число, равномерно распределенное в диапазоне от a до b .

За эталон генератора случайных чисел (ГСЧ) принят такой генератор, который порождает последовательность случайных чисел с равномерным законом распределения в интервале (0;

• 1). За одно обращение данный генератор возвращает одно случайное число. Если наблюдать такой ГСЧ достаточно длительное время, то окажется, что, например, в каждый из десяти интервалов (0; 0.1), (0.1; 0.2), (0.2; 0.3), …, (0.9;
• 1) попадет практически одинаковое количество случайных чисел - то есть они будут распределены равномерно по всему интервалу (0;
• 1). Если изобразить на графике k = 10 интервалов и частоты N i попаданий в них, то получится экспериментальная кривая плотности распределения случайных чисел (см. рис. 2.2).

Рис. 2.2

Заметим, что в идеале кривая плотности распределения случайных чисел выглядела бы так, как показано на рис. 2.3. То есть в идеальном случае в каждый интервал попадает одинаковое число точек: N i = N /k , где N - общее число точек, k - количество интервалов, i = 1, …, k .

Рис. 2.3

Следует помнить, что генерация произвольного случайного числа состоит из двух этапов:

• · генерация нормализованного случайного числа (то есть равномерно распределенного от 0 до 1);
• · преобразование нормализованных случайных чисел r i в случайные числа x i , которые распределены по необходимому пользователю (произвольному) закону распределения или в необходимом интервале.

Генераторы случайных чисел по способу получения чисел делятся на:

• · физические;
• · табличные;
• · алгоритмические.